没有搅拌，颜色也会慢慢散开
把一滴颜色放进静止的水里，就算不搅，颜色也会慢慢向周围散开。这里把这个过程画成一条封闭的色带：开始时颜色挤在中间，后来两边也渐渐有了颜色。这个现象叫扩散。
分子一直在不停、无规则地运动，并不是谁在指挥它们往外跑。颜色多的地方，向外走的分子通常比从外面走进来的多；合起来看，颜色便从多的地方向少的地方散开。
注意两件事：色带没有整条往外流，颜色也没有消失。中间变淡，是因为同样多的标记物分散到了更宽的地方。图中的曲线像一张「各处有多少」的地图，箭头表示平均哪边搬得更多，不是某一个分子的路线。
颜色散开了，东西减少了吗？
- 跟住颜色。 推进时间：中间变淡时，两边怎样变化？再看总量有没有减少。
- 比较快慢。 只把扩散系数 D 调大，让两条色带经过相同时间，哪条更均匀？D 表示这个模型扩散的快慢。
- 混合两种颜色。 看蓝色和暖色渐渐重叠。它们混合了，还是其中一种消失了？
浓度、通量与边界用同一个方程连接
展开：更多对照与操作说明
- 在“封闭脉冲”中选择截面通量，将观察截面从左半边移到右半边。梯度与净通量会同时反号，中心截面则接近零。
- 将 D 设为零，再推进时间。这个模型的浓度不变，净通量为零；恢复 D 后，显示的是从原初态重新计算的结果。
- 选择选区收支，比较
t* = 0.3与t* = 2。同一小段先积累、后减少，取决于两端通量之差；整条封闭带的总量仍为 1。 - 比较两倍 D，两组保持相同初态、质量、长度和时刻。D 加倍，相当于基准组经过两倍模型时间。
- 比较两倍长度。初态也按长度同比放大，质量仍各为 1，因此较长带的起始浓度较低。达到相同相对平滑程度，需要四倍时间；不是“路程加倍，时间就加倍”。手动比较的长度上限为 2。
- 选择双标记混合，观察 A、B 两条浓度曲线及其和。两种不反应的标记分别守恒，混合颜色不是把两种物质擦掉。
所有滑块有明确名称，支持方向键、Home 和 End。重置恢复 D 0.015、长度 1、时间零、封闭脉冲、截面 0.67、通量仪器和比较关闭。影片由共用播放器暂停、重播和跳转；模型时间与影片秒数不同。
这里精确求解了什么？
介质静止、截面积取 1，D 为常数；没有平流、反应或物质源。浓度与通量满足：
默认封闭初态是 c(x,0) = (M/L)(128/35) sin⁸(πx/L)，M 为总量。它恰好由常量和四个余弦模态组成：
n 分别为 2、4、6、8，初始系数为 (M/L) × [−1.6, 0.8, −8/35, 1/35]。所以这里没有把不连续方波截成有限项，也不靠逐帧时间步积累结果。MIT 的有限体扩散例题说明了零通量边界与余弦展开的关系。
曲线直接求值；颜色带采用各小段的精确平均浓度。颜色使用示意吸收映射，不是实际染料光谱，也不是浓度的精确仪器读数。数值表可读取图像背后的浓度和通量。D、长度、时间和浓度均为无量纲教学参数。
局部为什么可以先变多、再变少？
选区 [a,b] 的量为浓度积分。只要用一致的通量符号，就有：
正 J 表示向右。左边进入多于右边离开，选区增加；右边离开更多，选区减少。单个选区不需要守恒，整条带才由封闭边界保证总量不变。方法面板显示整体账本残差。
两种标记的初态分别为 (1 ± 0.95 cos(πx/L))/L。同一个 D 让两条余弦系数以相同速率衰减，各自总量始终为 1，总浓度始终为 2/L。这是互不反应、D 相同的稀标记模型，不是包含交叉扩散、浓度依赖物性和体积变化的真实多组分溶液。
为什么扩散宽度最终不再增长？
对本场景的对称封闭脉冲，中心一直在 L/2。质量归一化的分布方差从集中初态增长，最终达到均匀分布的 L²/12。它的精确变化率为：
初期两端浓度很小，方差增加接近 2Dt；物质分布受到边界影响后，后半项不能忽略。不能将无限空间的宽度增长公式一路外推到封闭带。
每个非均匀模态的衰减取决于 Dt/L²。同样的相对初态下，D 翻倍使特征时间减半，长度翻倍使特征时间变成四倍。更细的空间起伏衰减更快。宏观浓度的平滑具有耗散性；这不表示分子运动变慢，也不在此模拟微观时间反演。
端点固定浓度时，总量为何会变？
最后一章明确换了一个初态和边界问题：左端浓度固定为 1，右端固定为 0，初态为 1 − x/L − 0.2sin(πx/L)。精确解为：
两端相当于理想储库，可以交换物质。带内总量的改变与累计左端输入减去右端输出相等。D 大于零时，最终浓度趋于线性分布，净通量趋于 D/L，稳态并不等于零通量。这仍是静止介质中的扩散，没有加入一股从左到右的整体水流。MIT 的扩散边界讲义将固定浓度和固定通量列为不同的问题条件。
本场景不模拟膜选择性、电场、化学反应、非 Fick 型扩散或分子路径。解析解只在列出的初态、常系数和边界条件下成立。