维度，先从“需要几个数”开始
在线段上定位一个点，只要一个坐标。在平面上，需要两个独立坐标。在我们熟悉的空间里，需要三个。每增加一个维度，就多了一种不能由已有坐标完全替代的变化方向。
把几何维度从 1 慢慢调到 4。线段沿一个新方向展开，得到正方形；正方形再展开，得到立方体。继续同样的构造，便得到四维超立方体，也叫正八胞体。
你并没有突然“看到四维”。屏幕只能显示二维图像，实验把四维对象先投影到三维，再由三维视角投影到屏幕。图中看似大小不同的两个盒子，是投影产生的关系，不代表高维对象真的有一大一小两个房间。
旋转对象，与改变看法，是两回事
- 先转动观察视角，再改变四维旋转，比较这两种变化。
- 切换到球的切片，让平面从底到顶穿过球，观察圆怎样出现和消失。
- 对比投影与切片：哪一种汇集不同位置的影像，哪一种只留下相交部分？
数据里的几十维，也需要几十个空间方向吗？
进一步操作与数值核对
选择四维投影，先拖动场景：你改变的是投影结果的三维观察视角。再拖动“四维 x–w 平面旋转”滑块：这次改变的是四维对象本身，随后才重新投影。
有些边看起来穿过彼此，或者某个“内盒子”变大了。投影会压缩、叠加信息，这些变化不一定表示原对象发生了碰撞或变形。
切换到切片。一个平面从球底穿过球顶，交线先从一点长成圆，再缩回一点。如果你是只能感知这个平面的观察者，可能只会见到一个突然出现、逐渐变大又消失的圆。
投影保留来自很多位置的映射；切片只保留与平面相交的部分。用球体实验，亲手区分这两种“看高维”的方式。
展开：特征维度
不需要。切换到特征视图。一颗水果可以用质量、含糖量、含水量等多个数描述。这些数构成特征向量，每一项可以看作一个维度，却不要求现实中存在相应的物理空间方向。
选择不同纵轴，同一批水果的相对位置会变化。图并没有说某个轴才是唯一正确的视角，它展示的是不同问题需要不同信息。示例数值只用于坐标演示，不代表真实营养测量。
两个特征也可能相关。向量有多少个坐标，与数据实际能独立变化的自由度不总是同一回事。高维数据可能集中在较低维的结构附近，这也是降维方法试图利用的现象。
展开：超立方体的顶点和边，如何数？
每个坐标可以选择 −1 或 +1。n 个坐标共有 2ⁿ 种组合，也就是 2ⁿ 个顶点。每个顶点连接 n 条边，但每条边会被两端重复计算，所以边数为 n × 2ⁿ⁻¹。
四维时，这给出 16 个顶点和 32 条边。你可以在不知道“第四个方向长什么样”的情况下，依靠明确的构造与运算研究它。