空气没有约定在翼尾重逢

空气没有约定在翼尾重逢

机翼受到的空气压力，怎样合起来把它托起？先让这片上下对称的机翼平着迎风，再抬高前缘。观察两面箭头怎样改变，最后看它们合起来朝哪里；两团空气不必同时到达翼尾。

青色和赭色的示踪点从同一个上游截面同时出发，各自跟随所在位置的计算速度前进。它们可以在不同时间经过翼尾所在的测量线，没有哪条条件要求两团空气重新相遇。这里的对称翼型取 6° 攻角、25 m/s 来流，选定的上侧示踪点约在 49.70 ms 通过，下侧约在 59.86 ms 通过。这些时间属于本模型与这两个起点，不是所有机翼的通用数值。

计算先满足远处来流、固体表面不穿透和尖尾缘条件，得到速度场，再用伯努利关系算出压强。压强垂直向内作用于每一小片表面。把完整一圈的压力载荷相加，才得到升力，上下表面都参与。

蓝色和赭色载荷减去了均匀的环境压力。蓝色向外的增量表示相对环境而言，向内的推力变少，并不表示负的绝对压力在拉机翼。均匀环境压力在闭合表面的合力为零，因此减去它不会改变总升力。

一次只改变一个条件

• 把攻角设为 0°。即使两侧局部气流都加快，对称的压力分布仍使升力为零。
• 比较 +6° 与 −6°。压力图案镜像翻转，升力也反向；这个翼型上下表面的形状完全相同。
• 保持 +6°，把来流从 15 调到 30 m/s。每单位翼展的升力从约 98.74 变到 394.96 N/m，而无量纲压力系数图案不变。
• 选择“空气示踪”，逐步推进物理时间。两个点共用同一时钟，沿实际速度场前进，离开后不会绕回入口。零攻角时它们因对称性同时到达，不是因为存在“等时通过”的定律。
• 选择“表面载荷”，移动表面测点。压强差、压力系数和速度来自同一位置。“环量积分”则沿闭合的数学路径测量速度，不是在演示空气绕翼型转圈。

所有滑块都支持键盘方向键。“重置机翼实验”恢复 +6°、25 m/s、零时刻、初始测点和表面载荷视图。自动演示使用共用的暂停、跳转与重播。连续改变攻角或风速的画面比较的是一系列独立稳态，不计算机翼转动或风洞加速的瞬态。

辅助复平面中的圆心为 −εa，半径为 R = (1 + ε)a，经过 ζ = a。本例选择 ε = 0.1，实际弦长为 1 m。Joukowski 映射写成：

圆的外部对应机翼外部的流体，反解时只取外部分支。随后旋转翼型，使实验室中的来流始终水平；正攻角使前缘抬高。精确尖尾缘处的映射导数为零，因此不直接计算该点速度，而是显示两侧附近采样及独立的解析极限。物体内部与映射极点也不属于求解的流体区域。

令 w = ζ + εa，圆周围的复势由均匀流、偶极子和环量项组成。对复势求导，再除以映射导数，得到真实平面中的速度。远处速度符合来流，表面不穿透；尖尾缘两侧必须趋于相容的有限速度。最后这个 Kutta 条件选定：

这里以逆时针环量为正，因此正升力对应负 Γ。环量是沿闭合路径的切向速度积分，不要求任何空气团真的绕翼型一圈。环量项在外部流体区域内仍无旋，其奇点位于排除的物体内部。

本模型直接施加 Kutta 条件。真实流动建立环量涉及黏性与起动过程，这里没有计算它们随时间的发展。对于本例对称翼型，尾缘共同速度极限是 U∞ cos α / (1 + ε)。

在本例稳态不可压缩势流中，远场条件均匀，并忽略高程项：

模型用 512 个表面单元做周期中点积分，法向由同一解析几何的切线计算，载荷箭头没有另行拟合：

竖直分量就是每单位翼展的升力。另一条外部闭合路径独立积分出环量，再用 Kutta–Joukowski 关系核对压力积分：

6°、25 m/s 时，压力积分给出约 274.28 N/m，升力系数约为 0.7165。风速翻倍，环量翻倍，动压和升力变成四倍。理想二维压力阻力为零是本模型的数学结果，不意味着真实机翼没有阻力。

这是无限延伸流体中的二维、稳态、无黏、不可压缩模型；观察窗的外框没有作为实体风洞壁参与计算。作者选定弦长 1 m、密度 1.225 kg/m³、环境绝对压力 101325 Pa。探索范围为 −8° 到 +8°、10–35 m/s，±8° 只是本演示的控制范围，不是计算出的失速边界。

模型没有边界层、分离、失速、黏性阻力、有限翼展诱导阻力或可压缩效应。示踪轨迹对同一速度场做四阶 Runge–Kutta 积分，显示运动大幅放慢，毫秒读数仍是物理时间。有限观察范围中的示踪点到达出口后消失，不循环回入口。手机保持几何的等比例坐标，尾缘改为独立近景，每章只保留相关读数。

为清楚显示，表面颜色在 Cₚ ≤ −2.5 和 Cₚ = +1 处饱和，数值测点保留完整计算结果。载荷箭头与速度箭头使用不同显示比例，长度都不是实际空间距离。压力章节沿表面逐段揭示积分贡献，是教学顺序，不是压力随时间逐渐建立。

资料：NASA：不正确的升力解释、NASA：伯努利与牛顿、剑桥托管的悉尼大学材料：Joukowski 变换与翼型、Complex Analysis：Joukowski 翼型。