没有水流，粒子为什么还在走？

打开“自己试试”后，可以调节温度、动力黏度、球半径和观察时间。输入带有名称，可用键盘方向键、Home 和 End 操作。

• 固定黏度与半径，提高温度：D 与绝对温度成正比，典型位移随温度的平方根变化。
• 固定温度与半径，把黏度加倍：D 减半。
• 固定温度与黏度，把半径加倍：D 减半，但质量变成八倍，惯性时间变成四倍。
• 切到热浴与惯性，观察完整窗口的冲量如何相加；切到均方位移，比较单条曲线与重复实验。
• 换一个热浴样本，路线改变，物理参数不变。重置会恢复全部参数、种子、观察内容和两个时间尺度的初值。

温度和黏度在这里是独立控制量；真实液体的黏度也随温度变化。450 K 或零温输入不代表默认参数仍对应某种现实液态介质。

阻力与热浴，是同一环境的两面

经典 Langevin 模型把周围环境分成平均黏滞阻力和随机热浴作用。对每一个方向：

dW 是 Wiener 过程的增量，方差等于时间增量。白噪声并不是一个每个瞬间都能读出有限数值的普通力。影片显示一个完整采样窗内的热浴冲量、阻力冲量，以及它们合成的动量变化。

阻力消耗已有的运动，热浴持续带来涨落。热平衡不等于每一刻静止，也不等于每一个采样窗的能量收支恰好为零。平衡速度的每个分量满足 ⟨v²⟩ = kBT/m。本模型从这个速度分布出发，位置则从原点开始。

惯性在哪里？

对半径为 a、满足无滑移条件的稀悬浮球，采用 Stokes 阻力：

默认球半径为 0.5 µm，密度 1050 kg/m³，温度 300 K，动力黏度 1 mPa·s。由这些参数得到 D ≈ 0.439 µm²/s，惯性时间 τ ≈ 58 ns。

秒尺度观测远大于这个惯性时间，因此省去惯性通常能很好地近似位置轨迹。但在足够短的时间里，粒子带着速度继续前进，并非每一瞬间都任意换向。短时章节切换到一次独立的纳秒观测；它不是把之前那条秒尺度折线当作真实的高分辨率轨迹放大。

零温章节关闭经典热噪声，却保留初速度。球的速度按 exp(−t/τ) 衰减，已有动能被阻力耗散。这是数学对照，不是对真实液体零开尔文状态的描述。

平均位置与平均位移平方，回答不同的问题

影片的统计来自 64 次独立重复：每次一颗粒子、相同起点、相同参数，不是 64 颗彼此相撞的球。深色菱形是位置的样本平均。不同方向可以互相抵消，让这个平均接近起点；每条轨迹仍可能已经走远。

均方位移先平方再平均。这里统计所显示的两个坐标，Δr² = Δx² + Δy²：

短时间近似为 2(kBT/m)t²，长时间近似为 4Dt；若统计三个坐标，长时间系数则是 6。均方根位移是均方位移的平方根，单位为长度，不是累计路程。虚线圆圈标记理论均方根尺度，没有把粒子围住。

单条轨迹的位移平方可以下降。64 次样本的平均也会波动，只有无限重复的期望遵循光滑理论曲线。过阻尼极限下的数学路径并不光滑，不能把平滑的平均曲线当作某颗粒子的路线。

计算与适用范围

模型使用位置、速度的联合高斯精确转移，而不是显式 Euler 随机踢动。固定种子与样本序号确定每次随机输入，直接跳转和从头播放得到相同观测点。点与点之间的直线插值只用于显示；更换采样间隔会改变可见细节。惯性与过阻尼对照通过积分方程共享同一热浴。

这里假设无边界、均匀、经典、各向同性的平衡热浴，没有外力、墙壁或粒子相互作用。自由空间的位置分布不断展开，不能归一化为静止的空间平衡分布；速度分布可以保持热平衡。流体附加质量、流体记忆、有限分子碰撞时间、近壁修正和仪器噪声均被省略。尤其纳秒镜头是理想 Markov 模型的解释，不能替代真实液体的极短时测量。

依据与延伸：NIST 的玻尔兹曼常数、Padova / INFN 的 Langevin 讲义、Li 等人的瞬时速度实验、短时间布朗运动综述与液体惯性及流体记忆的实验说明。实验资料说明了观测短时运动的重要性，并不意味着本片采用了它们完整的实验模型。