转动一圈铜线，为什么会发电？

先让轴停着。磁场仍穿过铜线圈，但磁通不随时间改变，没有持续感应电动势。转动轴以后，线圈的方向不断改变；同一片磁场穿过线圈的有向面积随之改变，电压才出现。

这里跟踪一圈真实画出的铜线。线圈法线与磁场平行时，磁通达到极值，瞬时感应电动势为零。再转四分之一圈，磁通过零，却变化得最快，电动势的绝对值最大。影片会在这两个位置停帧；这是冻结观察，并不是把计算中的轴转速改成零。

两根旋转引线分别接到两只完整滑环。固定电刷一直贴着各自的滑环，因此外部导线不必跟着轴扭转。滑环不会每半圈交换接线，输出电压仍然正负交替。它和用来机械换向的分裂环换向器不同。

接通负载后，电流流过线圈。磁场对载流导线施力，形成反抗当前转动的电磁力矩。外部驱动必须补充机械功，才能维持转速；负载获得的电能来自驱动轴，磁场参与转换过程。

• 把转角停在 0°、90°、180°、270°，分别观察磁通、端电压与电流。转角是取样位置，转速是该位置对应的实际计算参数。
• 在同一转角，把转速从 360 rpm 改为 720 rpm。开路电压幅值翻倍，一个物理周期所需的时间减半。
• 保持转速，断开和接通负载。开路电压可以存在，但这里的负载电流和电磁阻力矩为零。
• 保持负载接通，减小电阻。电流与反向力矩增加，维持指定转速需要更多机械输入。
• 把转速改为负值。同一取样角度的电压极性反转，电磁力矩也反向；它仍然反抗实际的转动。
• 把磁场或转速设为零。没有磁通变化，电压、电流和此模型中的电磁功率都归零。

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规定轴为 z 轴，正转角绕 +z 增加。初始线圈法线沿 +x，气隙磁场 B 也沿 +x。沿铜线从 A 端走向 B 端所确定的有向面积法线为正。端电压定义为 B 电刷电势减去 A 电刷电势，正负载电流从 B 流出，经负载返回 A。

这是一匝线圈，所以式中没有额外的匝数倍数。主图气隙中的箭头表示静止磁场的一段，不是沿导线流动的粒子。环的完整闭合面用于求磁通；铜线在前边中央为两个引线端头留了间隙，该处横向小段不贡献这里的运动电动势。

若考虑内部等效电阻 r，负载接通时 i = e/(R+r)，外部端电压 v = iR；开路时 i = 0，v = e。曲线显示外部端电压，纵轴单位为伏特，横轴是转角而不是播放时间。

载流回路的磁矩与外部磁场相互作用。按本篇的方向约定，电磁力矩为：

对纯电阻负载，把电流表达式代入，得到 τₑₘ = −(BA)²ω sin²θ/(R+r)。因此只要有电流，τₑₘ 与 ω 的符号相反。反转驱动方向，会同时改变电压、电流和反向力矩的方向，却不会让电阻开始倒送能量。

忽略转动惯量和机械摩擦，外部驱动力矩为 −τₑₘ。模型逐点满足：

最后一章把一整圈中的轴功、负载电能与内部损耗分别积分。曲线的末端是本圈的累计能量，不是功率读数，也不代表计算了电阻温度。

铜线中心线是宽 0.12 m、长 0.18 m、圆角半径 0.009 m 的单匝矩形。面积按 0.12 × 0.18 − (4−π) × 0.009² 计算，约为 0.02153047 m²。两个端头通过旋转引线接到各自的完整滑环；引线在轴与第一只滑环内孔之间保持间隙。两只轴承布置在滑环之后，支撑悬臂式教学转子，避免固定轴承挡住旋转引线。

默认磁场 0.8 T、转速 360 rpm、负载 8 Ω、内部等效电阻 0.4 Ω。内部电阻合并绕组与电刷接触损耗，是教学参数，不由画出的铜线厚度拟合。允许改变转速、磁场和负载，但不把这些数值当作实际机器的额定规格。

气隙磁场近似均匀，忽略边缘漏磁、旋转引线和滑环额外产生的电动势、电枢反应、线圈电感与接触电弧。机座和磁极的透明剖视用于观察内部，未求解磁路材料。驱动给定转速，忽略转动惯量、轴承和电刷的机械摩擦；因此空载没有此模型中的电磁阻力矩，并不意味着真实发电机空载绝不需要机械功。