跟住一束光，看它怎样从水滴里出来
太阳在你身后，前方又有许多水滴时，有机会看到彩虹。先跟住一束阳光：它进水滴时拐弯，在水滴背面反射一次，再从另一处拐弯出来。也有光从别的方向离开，并不是全部都走这一条路。
改变阳光进入水滴的位置，出射方向也会变。但在某个方向附近，许多相邻光路挤到差不多的角度，那里看起来就更亮了。不同颜色拐弯的程度略有不同，所以红光和紫光最集中的方向也略有不同。
再站到观察者的位置：射进眼睛的红光和紫光，通常来自不同方向的水滴，不是同一滴水在你眼前画出整条彩色弧。许多合适位置的水滴一起，才让你看见红色在外、紫色在内的主虹。
先跟一束光，再看整条虹
- 跟光走。 在水滴图里找到入水、反射、出水三个位置。光在哪里转了弯？
- 换一种颜色。 保持入口不变，比较红光和紫光离开的方向。
- 站到眼睛的位置。 切到观察者图，分别追踪射进眼睛的红光和紫光。它们来自同一滴水吗？
从球面几何到彩虹角
展开：更多对照与操作说明
- 在自由探索中聚焦“入射偏移 b/R”滑块，按方向键小步调整。每一个入射点、折射段、反射点和出射方向都会重新计算。
- 点击“追到最集中的入口”，再在它附近前后移动。入口改变仍明显，出射角却变化很少；继续靠近边缘后，出射角重新减小。
- 固定入射偏移，只调节波长。比较水的折射率与颜色的集中方向，区分“同一个入口”与“每种颜色各自的驻值入口”。
- 切换到观察者图，在同一滴与两滴水之间对照，沿虚线追踪错过眼睛的那束紫光。
- 在天空图提高太阳。虹的角半径没有随意缩小；反太阳方向下降，地平线以上露出的弧段变少。当太阳足够高时，平地观察条件下的主虹方向全部落在地平线以下。
每个接触点如何确定？
水滴半径取 R，入射偏移为 b。图中控制的是无量纲比值 b/R。以单位圆表示水滴，平行入射光沿 x 正方向传播，入口为（−√(1−b²)，b）。入口法线就是该点的径向方向。
先按 Snell 定律求水内方向，再求直线与球面下一次交点；按反射定律改变方向，继续求下一次球面交点，最后再次使用 Snell 定律回到空气。屏幕不是把几段线画到预定位置上：线段与圆周的连接都来自这些交点。
功率计算保留 s、p 两个偏振分量。对每个分量依次乘以入水透射率、内部反射率和出水透射率，再将二者相加。没有把几次未偏振平均反射率直接相乘。入口反射、直接透射、主虹支路与留待更高阶路径的光之和守恒。
为什么是大约 42°，而不是任意角度？
对一次内部反射，i = arcsin(b/R)，r = arcsin((b/R)/n)，相对于反向的角度为：
对入口位置求导，主虹的驻值条件给出：
在这里 α 达到最大值，附近入口映射到接近的角度。桌面曲线显示这个平缓的转折；手机将这块次要曲线让位给光束扇和出射角分箱，避免堆成长页。
分箱并不是按入射高度等权计数。均匀阳光照在圆形截面上，半径 b 到 b+db 的环形区域面积正比于 2b db。模型因此取 b/R = √u 的等面积样本，并用每个样本的 Fresnel 主虹支路功率加权。每箱覆盖 0.25°，表示该角度区间得到的功率份额，不是单位立体角辐亮度，也不是照片亮度。
理想几何光学在驻值处产生奇异集中；真实太阳的有限角尺寸、波动效应和水滴分布会将它平滑。这里用有限分箱展示集中，不把无限峰值当作真实光强。推导可参考 Harvard：Rainbows。
折射率从哪里来？
水的色散采用 IAPWS R9-97 的公式 1 与表 1 系数，归属 International Association for the Properties of Water and Steam。固定水温 293.15 K（20°C）、密度 998.2 kg/m³，不进行气压到密度的状态方程求解。界面使用 400–700 nm 的可见光范围。
IAPWS 给出相对于真空的折射率，本片把外界空气近似成 n=1。这一点与真实空气略有区别，所以读数用来解释几何与色散，不作高精度大气测量。以本片固定条件计算，550 nm 的水折射率约为 1.33468。屏幕颜色只是便于识别波长的调色方案，没有做光谱到人眼颜色的完整转换。
一圈水滴，为什么只看到一段弧？
太阳在身后，反太阳方向指向太阳的相反一侧。具有同一角半径的视线组成以眼睛为顶点的圆锥。不同波长的强集中路径对应稍有不同的圆锥，红光位于外侧，紫光位于内侧。
天空图采用以反太阳方向为光轴的透视投影。圆锥投影半径正比于 tan α，地平线高度由太阳高度角推导；只把真实方向在地平线以上的弧段绘为彩色。十字是方向参照，不是远处的一件物体。
观察者图缩短了滴间距并放大了水滴，但仍从真实出口求出射线与眼睛的相交。A、B 追踪的是各波长接近集中角的代表路径；一个方向也可以有其他较弱波长，并不表示真实水滴只能贡献一种纯色。图示没有计算衍射、干涉、超数虹、非球形大雨滴、云层遮挡或多重散射。本片只展开主虹，不把二次反射的副虹混入这条路径。NOAA 的彩虹介绍提供了相关的观察背景。