绳子平了，波去哪了？

绳子平了，波去哪了？

一上一下的两个脉冲沿同一根绳迎面而来。淡蓝和陶红虚线表示各自的位移贡献；浅金实线才是绳子实际的形状。圆点标记绳上的物质，金点 P 始终留在同一个横坐标，不跟着波峰旅行。

重叠时，同一位置的位移相加。等高、反向的两个脉冲恰好对齐，整根绳可以瞬间平直。但“位移为零”不是“速度为零”。此刻，脉冲两侧的物质点仍在上下运动，能量储存在动能中。继续推进时间，两个脉冲从对方穿过，形状和传播方向保持不变。这是理想线性绳的结果。

后半段把单次脉冲换成简谐波。先比较同向、同频波的相位差与振幅，再让两列反向波真正从观察窗两侧进入。当它们等振幅、同频且充分重叠时，固定的波节出现，波腹在原地振动。波节是干涉结果，不是绳上的夹具。

停在你想看的瞬间

• 在“有限脉冲”中停在完全重叠。振幅比 −1 使位移抵消；改成 +1，合位移加倍，能量主要存为形变能。
• 用时间滑块向前或向后移动。金点的横坐标保持不变；时间轨迹和绳形来自同一个模型。
• 在“同向简谐波”中把相位差调到 180°。两波等振幅时才完全抵消；把第二波振幅减半，剩下 2 mm 的合振幅。
• 在“驻波”中切换观察波节和波腹。再改变第二波振幅：没有等高的反向波，就没有始终静止的波节。

滑块支持方向键、Home 和 End。恢复按钮回到最初的脉冲状态；页面播放器负责暂停、重播、章节和任意跳转。没有必须开启的声音或额外资源。

位移相加，能量要重新计算

令横坐标为 x、横向位移为 y。均匀、张力恒定的小斜率绳满足

本演示采用 T = 1 N、μ = 0.01 kg/m，所以 c = 10 m/s。有限脉冲是 f(z) = A cos⁴(πz/2w)，仅在 |z|<w 非零，A = 4 mm、w = 0.4 m。边界处函数及前三阶导数连续。两波相遇的真实时间只有零点几秒，影片把它放慢观察。

对合位移求导后，能量密度和沿正 x 方向的瞬时能流为

不能把位移相消误说成能量损失，也不能先把两个能量密度逐点相加来代替这一步。观察窗中的能量变化由两端能流之差决定。有限脉冲在影片中完全留在 [-1.6,1.6] m 内，因此总能量恒定；波列进入时，窗口是开放系统。

同向简谐波的合振幅为 R = √(A² + B² + 2AB cos φ)。调节相位和振幅是在比较不同输入，不是模拟无外力的连续调节，不能据此做跨输入的能量守恒比较。

等振幅的反向波满足

这里 λ = 1.6 m，波节在 x = nλ/2。波列前沿使用五次平滑包络，包络随各自的传播坐标移动，并对包络与载波的乘积完整求导。最后一幕的驻波是前沿已通过整个观察窗后的同一场。其平均净能流为零，但瞬时局部能流一般不为零。

图像与适用范围

横坐标以米计，位移以毫米计并放大；不能把画面的倾斜角直接当作真实绳斜率。手机在相消和驻波章节聚焦较短的、有标尺的观察窗，在相位比较章节直接看同一点的位移与振幅。圆点仅用于标记连续绳上的位置，没有另加珠子质量。

模型忽略阻尼、色散、张力变化和纵向运动，只适用于小斜率、均匀理想绳；没有模拟固定端反射或量子粒子。能量曲线保持线性刻度，速度箭头和能流箭头分别来自 yₜ 与 S，不是物质的旅行路径。

参考：Caltech：模式与反向波、得克萨斯大学：能量守恒、Caltech：波动方程与叠加。